artikel

BAB III

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

1. Relasi dan Fungsi

2. Fungsi Khusus

3. Fungsi Surjektif, Injektif,
dan Bijektif

4. Aljabar Fungsi

5. Fungsi Komposisi

6. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

7. Fungsi Invers

LEMBAR KERJA SISWA 1

Mata
Pelajaran                 :  Remidi Matematika

Uraian
Materi Pelajaran :   Relasi dan Fungsi

Kompetensi
Dasar      Menggunakan sifat dan aturan fungsi
komposisi                     dalam
pemecahan masalah

Kelas
/ Semester             :   XI IPS / I

MATERI :

I.      Pengertian
produk Cartesius, Relasi dan Fungsi

A.   Pengertian Produk Cartesius

Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius
himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x
Î A dan y Î B dan ditulis AxB = {(x,y) | x ÎA dan y Î B}.

Contoh :

Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan :

a.    A x B                   c.  A x A

b.    B x A                   d.  B x B

Jawab :

a.    A x B = {(a,1), (b,1), (c,1),
(a,2), (b,2), (c,2)}

b.    B x A = {(1,a), (1,b), (1,c),
(2,a), (2,b), (2,c)}

c.    A x A = {(a,a), (a,b), (a,c),
(b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}

d.    B x B = {(1,1), (1,2), (2,1),
(2,2)}

 

B.   Relasi

Misal :

A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan
R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.

Pada relasi R = {(x,y)| x Î A dan x Î B} dapat disebutkan bahwa :

a.    Himpunan ordinat pertama dari
pasangan terurut (x,y) disebut daerah asal (domain).

b.    Himpunan B, disebut daerah kawan
(kodomain).

c.    Himpunan bagian dari B yang
bersifat Ry dengan y Î B disebut daerah hasil (range)
relasi R.

Suatu relasi R = {(x,y) | x Î A dan x Î B} dapat ditulis dengan menggunakan :

a.    Diagram panah

b.    Grafik pada bidang Cartesius

Contoh :

Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4} ditentukan
oleh f : {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus fungsi f : {(x,y)
| y = x-1, x Î A, y Î B}.

Fungsi f disajikan dalam diagram
panah sebagai berikut :

Domain    : D_f : {1,2,3,4}

Kodomain      : K_f : {0,1,2,3,4}

Range       : R_f : {0,1,2,3}

 

 

               Relasi f

 

Fungsi f dapat digambarkan grafik
pada bidang kartesius :

y

3

2

1

 

                1       2       3       4                 x

 

C.   Fungsi atau Pemetaan

Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika
dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan
sebuah unsur dalam himpunan B.

f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f
dilambangkan dengan f : A à B

jika x ÎA dan y Î B, sehingga    (x,y) Î f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan
dengan lambang y : f (x)

(ditunjukkan dalam gambar disamping)

      A                          B

	f : x à y = f (x)

 

 

 

y = f (x) : rumus untuk fungsi f

x disebut variabel bebas

y disebut variabel tak bebas

Contoh :

Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f
(x) = 2x – 1.

Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}

a.    Tentukan f (0), f (1), f (2), f
(3) dan f (4).

b.    Gambarkan grafik fungsi y : f (x)
= 2x – 1 dalam bidang kartesius.

c.    Tentukan daerah hasil dari fungsi
f.

Jawab :

a.    f (x) = 2x – 1, maka :

f (0) = -1          

f (1) = 1           

f (2) = 3

f (3) = 5

f (4) = 7

b.    Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1

 

8                                                                y
= f (x) = 2x – 1

 

7

 

 

5

 

 

3

 

 

1

 

             1          2          3          4          5

-1                   Daerah

                         asal

c.    Daerah hasil fungsi f è R_f = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}

 

Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka
dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin,
sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan
dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).

Contoh :

Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :

1.    f (x) =

Jawab :

f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ¹ 0 atau x ¹ -1

Jadi Df : {x | x Î R, dan x ¹ -1}

2.    g (x) =

 

Jawab :

g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :

4 – x² ³ 0

x² – 4 £ 0

(x-2) (x+2) £ 0   è  -2 £ x £ 2

Jadi Dg = {x | -2 £ x £ 2, x Î R}

 

Latihan 1

1.    Relasi-relasi himpunan A :
{a,b,c,d} ke himpunan B : {1,2,3,4} berikut ini manakah yang merupakan fungsi /
pemetaan (gambarkan terlebih dulu diagram panahnya).

a.    f = {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4)}

b.    g = {(a,2), (b,2), (c,3), (d,3)}

c.    h = {(a,4), (b,1), (b,3), (c,2),
(d,4)}

d.    i = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4)}

e.    j = {(a,1), (b,1), (c,1), (d,1)}

2.    Relasi-relasi yang disajikan
dalam bentuk grafik kartesius manakah yang merupakan pemetaan atau fungsi ?

a.                                                           b.

y                                                            y

 

 

 

 

0                                             x              0                                             x

 

 

 

 

 

 

c.                                                           d.

y                                                            y

 

 

 

 

0                                             x              0                                             x

 

 

 

 

3.    Diketahui fungsi f : R à R dinyatakan dengan rumus f (x) = x² – 1.

Jika daerah asal f adalah D_f : {x | -3 £ x £ 3, x Î R}

a.    Tentukan f (-3), f (-2), f (0), f
(1), f (2), f (3).

b.    Gambarkan grafik fungsi f (x) = x²
– 1 dalam bidang kartesius.

c.    Tentukan daerah hasil fungsi f.

d.    Tentukan nilai a jika diketahui f
(a) = 3.

4.    Tentukan daerah asal alami pada
fungsi berikut !

a.    f (x) =

b.    g (x) =

c.    f (x) =

d.    g (x) =

LEMBAR
KERJA SISWA  2

Mata Pelajaran                 :   Matematika

Uraian Materi Pelajaran :   Fungsi
Khusus

Kompetensi Dasar          :
 Menggunakan sifat dan aturan
fungsi komposisi

                                            Dalam pemecahan masalah

Kelas / Semester             :   XI IPS / I

Waktu                                :   3 x 45 menit

MATERI :

I. Beberapa Fungsi Khusus

Beberapa fungsi khusus meliputi :

A. Fungsi
konstan

Fungsi konstan : semua anggota dalam himpunan A dihubungkan hanya dengan
sebuah unsur dalam himpunan B.

Ditulis dengan : f : x à k, k : konstanta

Disajikan dalam :

a. Diagram panah                              b. Grafik pada
bidang kartesius

                                                                  y

                                                                                                    y
= f (x) = k

                                                              (0,k)                             

 

                                                                                                    x

 

B. Fungsi
identitas

Fungsi identitas : semua unsur dalam himpunan A dihubungkan dengan
dirinya sendiri.

Ditulis dengan : f : x à I (x) = x

Disajikan dalam :

a. Diagram panah                              b. Grafik pada
bidang kartesius

                                                                  y                             I (x) = x

 

 

                                                                            45°

                                                                                                                   x

C. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Fungsi f : x à f (x) disebut fungsi genap jika
f (-x) = + f (x)

Fungsi f : x à f (x) disebut fungsi ganjil jika
f (-x) = - f (x)

Jika ada fungsi yang tidak memenuhi kedua pernyataan di atas disebut
fungsi tidak genap dan tidak ganjil.

Contoh :

1.    Tentukan fungsi genap atau fungsi
ganjil di antara fungsi berikut :

a.    f (x) = x² + 1

b.    f (x) = x³

c.    f (x) = x³ – 1

Jawab :

a.    f (x) = x² + 1

f (-x) = (-x)² + 1 = x² + 1 = + f (x)

Jadi f (x) = x² + 1 adalah fungsi genap

b.    f (x) = x³

f (-x) = (-x)³ = -x³ = - f (x)

Jadi f (x) = x³ adalah fungsi ganjil

c.    f (x) = x³ – 1

f (-x) = (-x)³ – 1 = -x³ – 1

f (-x) ¹ + f (x)  dan f (-x) ¹ -f (x)

Jadi f (x) = x³ – 1 bukan fungsi genap dan bukan fungsi
ganjil. 

Contoh penyajian dalam grafik bidang kartesius

Fungsi genap                                     Fungsi
ganjil

                   y       y = f(x) = x²+1                       y           y = f(x) = x³

 

 

                         (0,1)                                          0

                                                  x          -1                   1                         x

 

Grafik fungsi genap selalu simetri             Grafik
fungsi ganjil selalu simetri

Atau setangkup terhadap sumbu y           atau setangkup terhadap titik asal 0

D.   Fungsi Linier

Fungsi linier ditentukan dengan rumus f (x) = mx + n, m dan n adalah
konstanta, m ¹ 0.

Disajikan dalam grafik bidang kartesius :

Grafiknya berupa garis lurus yang memotong dengan
sumbu x di        x =  dan memotong sumbu y
di y = n.

Nilai m adalah koefisien arah atau gradien dan m = tg a.

 

E.   Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat ditentukan dengan rumus f (x) = ax² + bx + c.

a, b, c = konstanta dan a ¹ 0.

Grafik fungsi kuadrat disebut parabola.

 

F.    Fungsi Modulus (fungsi mutlak)

Fungsi modulus disajikan dalam f : x à |x| didefinisikan sebagai :

            +
x, jika x > 0

|x| =      0,    jika x = 0

            - x,
jika x < 0

Grafik fungsi f (x) = |x| ditunjukkan dalam gambar :

y                                       y
= |x|

3

2

1

 

-3      -2      -1                  1       2       3                    x

 

Contoh :

Diketahui fungsi f : x à |x-1| dengan x Î R

a.    Ditentukan f (-3), f (-2), f
(-1), f (0), f (1), f (2), f (3)

b.    Tentukan p, jika f (p) = 10

c.    Tentukan q, jika f (q) = 4

d.    Gambarkan grafik fungsi f dalam
bidang kartesius

Jawab :

a.    f (x) = |x-1|

f (-3) = |-3-1| = |-4| = 4         f (0) = |0-1| = |-1| = 1

f (-2) = |-2-1| = |-3| = 3         f (1) = |1-1| = |0| = 0

f (-1) = |-1-1| = |-2| = 2         f (2) = |2-1| = |1| = 1

                                               f
(3) = |3-1| = |2| = 2

b.    f (p) = |p-1| = 10

p –1 = 10   atau   p – 1 = -10

     p = 11   atau         p = -9

c.    f (q) = |q-1| = 4

q –1 = 4     atau   p – 1 = -4

     p = 5     atau         p = -3

d.    Gambar grafik

y                                      

 

 

 

 

 

-3      -2      -1                  1       2       3                    x

 

 

 

 

G.   Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai
Bulat Terbesar

Fungsi nilai bulat terbesar disajikan dengan f : x à [[x]], yaitu suatu nilai bulat terbesar yang kurang dari atau sama
dengan x.

Grafik fungsi y : f (x) = [[x]], x Î R diperlihatkan dalam gambar sebagai berikut :

Contoh :

-2 £ x < -1  à [[x]] = -2

-1 £ x < 0  à
[[x]] = -1

0 £ x < 1  à
[[x]] = 0

1 £ x < 2  à
[[x]] = 1

2 £ x < 3  à  [[x]] = 2

y

3

2

1

      -2      -1                  1       2       3

-1

-2

 

Karena grafiknya menyerupai tangga, maka f (x) = [[x]] sering disebut
fungsi tangga.

 

Latihan 2

1.    Gambarkan grafik fungsi berikut
pada bidang kartesius

a.    f : x à 4

b.    f : x à 2x – 3

c.    f : x à x² + 5x

d.    f : x à |4x-1|

2.    Diantara fungsi-fungsi berikut
mana yang merupakan fungsi ganjil dan mana yang merupakan fungsi genap.

a.    f (x) = 3x + 1

b.    f (x) = x² – 6

c.    f (x) =

d.    f (x) =   

3.    Gambar grafik fungsi modulus f
(x) = |x| - 1 pada bidang kartesius.

4.    Gambarkan grafik fungsi g (x) =
[[2x-1]] dengan x Î R pada bidang kartesius.

LEMBAR
KERJA SISWA  3

Mata Pelajaran                 : Matematika

Uraian Materi Pelajaran : Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi
Bijektif

Kompetensi Dasar          : Menggunakan sifat dan aturan fungsi
komposisi

                                          dalam
pemecahan masalah.

Kelas / Semester             : XI IPS /  I

Waktu                                : 2 x 45 menit

MATERI :

A.
Fungsi Surjektif

Suatu fungsi f
: A à B disebut fungsi surjektif atau
fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama
dengan himpunan B atau R_f = B.

Contoh dalam diagram panah

A          f           B

A : {1,2,3,4}  ,  B : {a,b,c}

Fungsi f : A à B dinyatakan dalam pasangan
terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}.

Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah R_f : {a,b,c} dan R_f
= B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.

Fungsi f : A à B disebut fungsi into atau
fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan
bagian murni dari himpunan B atau R_f Ì B.

Contoh :

A : {1,2,3,4}  ,  B :
{a,b,c}

fs f : A à B dinyatakan dalam pasangan
terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}.

Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf Ì B, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam.

 

B. Fungsi Injektif

Fungsi f : a à B disebut fungsi injektif
(fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a₁, a₂ Î A dan a₁ ¹ a₂ berlaku f (a₁)
¹ f (a₂).

Contoh :

A : {1,2,3}  ,  B : {a,b,c}

f : A à B dinyatakan dalam pasangan
terurut f : {(1,a), (2,b), (3,c)}.

Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B

Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.

 

C.
Fungsi Bijektif

Fungsi f : A à B disebut fungsi bijektif jika
dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi
injektif.

Contoh :

A                      B Fungsi f

A : {1,2,3}  ,  B :
{a,b,c}

fs f : A à B, dinyatakan dalam pasangan
terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}.

Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

 

 

 

Latihan 3

1.    Fungsi-fungsi berikut adalah
fungsi-fungsi dari himpunan A : {p,q,r} ke himpunan B : {a,b,c}. Manakah yang
merupakan fungsi surjektif.

a.    f : {(p,a), (q,b), (r,c)}                 c.  h : {(p,c), (q,r), (r,a)}

b.    g : {(p,a), (q,b), (r,b)}               d.  k : {(p,b), (q,b), (r,c)}

2.    Fungsi-fungsi berikut adalah
fungsi-fungsi dari himpunan A : {1,2,3,4}          B : {a,i,u,e,o}, manakah yang merupakan
fungsi injektif.

a.    f : {(1,a), (2,e), (3,i), (4,o)}

b.    g : {(1,a), (1,e), (1,i), (1,o),
(1,u)}

c.    h : {(1,a), (2,e), (3,i), (4,u)}

d.    k : {(,a), (2,a), (3,e), (4,e)}

3.    Diantara fungsi-fungsi berikut,
manakah yang merupakan fungsi injektif ?

a.    y : f (x) = 2x – 1

b.    y : f (x) = x²

c.    y : f (x) = x³

4.    Fungsi-fungsi berikut adalah
fungsi-fungsi dari himpunan A : {0,2,4,6} ke himpunan B : {a,b,c,d}, manakah
yang merupakan fungsi bijektif.

a.    f : {(0,a), (2,c), (4,b), (6,d)}

b.    g : {(0,b), (2,b), (4,a), (6,d)}

c.    h : {(0,d), (2,b), (4,a), (6,c)}

LEMBAR
KERJA SISWA 4

Mata
Pelajaran                 :   Matematika

Uraian
Materi Pelajaran :   Aljabar Fungsi

Kompetensi
Dasar          :   Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi

                                          
dalam pemecahan masalah.

Kelas
/ Semester             :   XI IPS /  I

Waktu                                :   2 x 45 menit

MATERI :

Jenis operasi aljabar sering dijumpai dalam himpunan bilangan real,
seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan.
Operasi aljabar pada bilangan real dapat diterapkan pada aljabar fungsi, yaitu
jika diketahui fungsi f (x) dan g (x), dan n bilangan rasional.

Operasi aljabar pada fungsi ditetapkan sebagai berikut :

1.    Jumlah fungsi f (x) dan g (x)
ditulis (f + g) (x) = f (x) + g (x)

2.    Selisih fungsi f (x) dan g (x)
ditulis (f – g) (x) = f (x) – g (x)

3.    Perkalian fungsi f (x) dan g (x)
ditulis (f x g) (x) = f (x) x g (x)

4.    Pembagian fungsi f (x) dan g (x)
ditulis (x) =

5.    Perpangkatan fungsi f (x) dengan
bilangan n ditulis fⁿ (x) = {f (x)}ⁿ

 

Contoh :

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10
dan        g (x) =

Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain alaminya.

a.    (f + g) (x)                         d.   (x)

b.    (f – g) (x)                         e.  f³ (x)

c.    (f x g) (x)  

Jawab
:

Domain
alami fs f adalah Df : {x | x Î R}

Domain
alami fs g adalah Dg : {x | x ³ ½ , x Î
R}

a.  
Jumlah fungsi f (x) dan g (x) adalah

(f + g) (x) = f (x) + g (x) = 2x – 10 +

Domain alami fs (f + g) (x) adalah D_{f + g} = {x |
x ³
½ , x Î
R}

b.  
Selisih fungsi f (x) dan g (x) adalah

(f – g) (x) = f (x) – g (x) = 2x – 10 -  

Domain alami fs (f – g) (x) = D_{f – g} = {x | x ³
½ , x Î
R}

c.  
Perkalian fungsi f (x) dan g (x) adalah

(f x g) (x) = f (x) x g (x) = (2x – 10) () = 2x  - 10

Domain alami fs (f x g) (x) = D_{f x g} = {x | x ³
½ , x Î
R} 

d.  
Pembagian fungsi f (x) dengan g (x)
adalah

 (x) =  =

Karena bagian penyebut tidak boleh nol, maka domain alami
fungsi  (x) adalah = {x | x > ½ , x Î
R}

e.  
Perpangkatan fungsi f (x)

f³ (x) = {f (x)}³ = (2x – 10)³
= 8x³ – 160x² + 800x – 1000 

Dari
contoh di atas, terlihat bahwa jika D_f adalah domain alami fungsi f,
dan D_g adalah domain alami fungsi g maka domain alami dari
fungsi-fungsi f + g,  f – g,   f x g, adalah irisan dari D_f dan D_g ditulis D_f
Ç
D_g.

Latihan 4

1.  
Fungsi f dan g ditentukan oleh rumus

f (x) = x² + 1 dan g (x) =

Tentukan :

a.  
(f + g) (x) dan (f + g) (2)

b.  
(f – g) (x) dan (f – g) (-2)

c.  
(f x g) (x) dan (f x g) (1)

d.  
 (x) dan  (-1)

e.  
f² (x) dan f² (3)

f.   
g² (x) dan g²
(-2)

2.  
Fungsi f dan fungsi g ditentukan oleh
rumus

f (x) =   dan  g (x) = x² – 2

Tentukan fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain
alaminya.

a.  
(f + g) (x)                            d.
 (x)

b.  
(f – g) (x)                            e.
 (x)

c.  
(f x g) (x)                            f.
g² (x)

LEMBAR
KERJA SISWA 5

Mata Pelajaran                 :   Matematika

Uraian Materi Pelajaran :   Fungsi
Komposisi

Kompetensi Dasar          : 
Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi

                                           dalam pemecahan masalah.

Kelas / Semester             :   XI IPS / I

Waktu                                :   3 x 45 menit

MATERI :

1.    Pengertian komposisi fungsi

Dari dua buah fungsi f (x) dan g (x)
dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan operasi komposisi. Operasi
komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran).

Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan
operasi komposisi itu adalah :

a.  
(f o g) (x) dibaca : f komposisi gx
atau fgx

b.  
(g o f) (x) dibaca : g komposisi fx
atau gfx

1)  
Misal fungsi

g : A à B ditentukan dengan y = g (x)

 f : B à
C ditentukan dengan y = f (x)

Fungsi komposisi f dan g ditentukan dengan :

h (x) = (f o g) (x) = f (g(x))

2)  
Misal fungsi

f : A à B ditentukan dengan y = f (x)

          g : B à
C ditentukan dengan y = g (x)

Fungsi komposisi g dan f ditentukan
dengan :

h (x) = (g o f) (x) = g (f (x))

Contoh :

Misal fungsi f : R à
R dan g : R à
R ditentukan dengan rumus f (x) = 3x – 1 dan g (x) = 2x.

Tentukan :  a. (f o g)
(x)     b.  (g o f) (x)

Jawab :

a.  
(f o g) (x)   = f (g (x))

                   =
f (2x)

                   =
3 (2x) – 1 = 6x – 1

b.  
(g o f) (x)   = g (f (x))

                   =
g (3x – 1)

                   =
2 (3x – 1) = 6x – 2

2.    Syarat Komposisi Fungsi

Contoh 1

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (2,3), (8,5)}

g : {(3,8), (4,1), (5,-1), (6,2)}

Tentukan :

a.  
f o g                                    d.  (f o g) (2)

b.  
g o f                                    e.  (g o f) (1)

c.  
(f o g) (4)                            f.
(g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g digambarkan dalam
diagram panah (pemetaan).

a.  
(f o g) = {(3,5), (4,6), (5,4), (6,3)}

g                       f

                               (f o g)

 

b.  
(g o f) = {(-1,1), (1,2), (2,8),
(8,-1)}

f                        g

                               (g o f)

c.  
(f o g) (4) = 6

d.  
(f o g) (2) tidak didefinisikan

e.  
(g o f) (1) = 2

f.   
(g o f) (4) tidak didefinisikan

Contoh 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk pasangan
terurut

f : {(0,1), (2,4), (3,-1), (4,5)}

g : {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}

Tentukan : a) f o g       
b) g o f

g

f

Jawab :

                                    

                                       Dg                      Rg                               Df                       Rf

                                                                  

                                                             
                              (f o
g)

                 f                                  g

 
Df   Rf                         
Dg                       Rg

                                (g o f)

Dari contoh 1 dan 2 dapat disimpulkan syarat fungsi
komposisi (f o g) adalah :

·       
Hasil irisan antara daerah hasil fungsi
g dengan daerah asal fungsi f bukan himpunan kosong.

R_g Ç
D_f ¹
f

·       
Daerah asal fungsi komposisi (f o g)
adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi g.

D_{(f o g)} Í
D_g

·       
Daerah hasil fungsi komposisi (f o g)
adalah himpunan bagian dari daerah hasil fungsi f.

R_{(f o g)} Í
R_f

Contoh :

Diketahui fungsi f : R à
R dan g : R à
R ditentukan dengan rumus :

f (x) = 2x + 1   
dan     g (x) =

Tentukan :

a.  
(f o g) (x)

b.  
(g o f) (x)

c.  
Daerah asal (f o g) (x) dan daerah
hasil (f o g) (x)

d.  
Daerah asal (g o f) (x) dan daerah
hasil (g o f) (x)

Jawab :

f (x) = 2x + 1

Daerah asal D_f : {x | x Î
R} daerah hasil R_f : {y | y Î
R}

g (x) =

Daerah asal D_g : {x | x ³
0, x Î
R}, daerah hasil R_g : {y | y ³
0, y Î
R}

a.  
(f o g) (x) = f (g (x)) = f () = 2 + 1

b.  
( g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 1) =

c.  
Daerah asal (f o g) (x) = D_{(f o g)}
= {x | x ³
0, x Î
R}

Daerah hasil (f o g) (x) = R_{(f o g)} = {y | y ³
1, y Î
R}

Tampak bahwa D_{(f o g)} = D_g  dan R_{(f o g)} Ì
R_f

d.  
Daerah asal (g o f) (x) = D_{(g o f)}
= {x | x ³
½ , x Î
R}

Daerah hasil (g o f) (x) = R_{(g o f)} = {y | y ³
o, y Î
R}

Tampak bahwa D_{(g of)} Ì
D_f   dan   R_{(g o f)} = R_g

Latihan 5

1.  
Fungsi f dan g berikut adalah pemetaan
dari R ke R. Tentukan rumus untuk fungsi komposisi (f o g) (x) dan (g o f) (x).

a.  
f (x) = 4x – 2 dan g (x) = x²

b.  
f (x) = 5x + 2 dan g (x) = 4 – 2x

c.  
f (x) = x² + x dan g (x) = x
– 1

d.  
f (x) = x³ + x dan g (x) =
2x²

2.  
Fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk
pasangan terurut sebagai berikut

f : {(2,-2), (4,-3), (5,0), (7,-1)}

g : {(-3,2), (-2,4), (-1,5), (0,7)}

Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam pasangan
terurut

a.  
f o g                           d.  f o g (6)

b.  
g o f                           e.  g o f (-3)

c.  
f o g (5)                     f.  g o f
(0)

3.  
Fungsi f : R à
R dan g : R à
R ditentukan dengan rumus :

f (x) = x² + 3
dan  g (x) =

a.  
Tentukan daerah asal fungsi f dan
fungsi g

b.  
Tentukan rumus (f o g) (x) dan (g o f)
(x)

c.  
Tentukan daerah asal dan daerah hasil
fungsi (f o g) (x)

d.  
Tentukan daerah asal dan daerah hasil
fungsi (g o f) (x)

4.  
Diketahui fungsi f : R à
R ditentukan dengan rumus

f (x) =     2x² – 1  , jika x £
1

                     
5x  , jika x > 1

a.  
Hitung f (-2), f (-1), f (0), f (1) dan
f (2)

b.  
Hitunglah (f o f) (-2), (f o f) (-1)
dan (f o f) (2)

5.  
Fungsi f dan g adalah fungsi dari R ke
R ditentukan dengan rumus

f (x) =   dan  f (x) =

Tentukan :

a.  
(f o g) (x)

b.  
(g o f) (x)

c.  
(f o g) (3)

d.  
(g o f) (4)

LEMBAR
KERJA SISWA 6

Mata Pelajaran                 :   Matematika

Uraian Materi Pelajaran :   -  Sifat-sifat komposisi fungsi

                                                -
Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan

                                                   fungsi lain diketahui

Kompetensi
Dasar          :  Menggunakan sifat dan aturan fungsi komposisi

                                           dalam pemecahan masalah

Kelas / Semester             :   XI IPS /  I

Waktu                                :   3 x 45 menit

MATERI :

A.
Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi dapat disimpulkan dengan
menggunakan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1

Fungsi f : R à R ditentukan oleh rumus f (x) =
3x – 5 dan g (x) = 2x² – 1

Tentukan :

a.    (f o g) (x)  dan  (g
o f) (x)

b.    dari hasil di atas apakah (f o g)
(x) = (g o f) (x) ?

Jawab :

a.    (f o g) (x) = ……

(g o f) (x) = ……

b.    (f o g) (x) ………… (g o f) (x)

Kesimpulan :   ………….

Contoh 2

Fungsi f : R à R dan g : R à R, h : R à R ditentukan dengan rumus :

f (x) = x + 1 , g (x) = 3x
dan  h (x) = x²

Tentukan :

a.    ((f o g) o h) (x)  dan  (f
o (g o h)) (x)

b.    Dari hasil di atas apakah (f o g)
o h (x)  =  f o ( g o h) (x) ?

Jawab :

a.    Misal k (x) =  (f o g) (x) = f (g (x)) = ………

((f o g) o h) (x) = ( k o h) (x) = k (h (x)) = ………

Misal l (x) = (g o h) (x) = g (h (x)) = g (………) = ………

(f o (g o h)) (x) = (f o l) (x) = f (l (x)) = f (………) = ……

b.    ((f o g) oh) (x) …………. (f o (g o
h)) (x)

 

Kesimpulan :

……………………………………………………….

……………………………………………………….

 

Contoh 3

Fungsi f : R à R dan I : R à R ditentukan dengan rumus f (x) = x² – 2x + 1 dan I (x) = x

Tentukan :

a.    (f o I) (x)  dan  (I
o f) (x)

b.    dari hasil di atas apakah (f o I)
(x) = (I o f) (x) ?

Jawab :

a.    (f o I) (x) = f (I (x)) = f (………)
= ………

(I o f) (x) = I (f (x)) = I (………) = ………

b.    (f o I) (x) ……………… (I o f) (x)

 

Kesimpulan :

     
…………………………….

     
…………………………….

Dari ketiga contoh di atas, beberapa sifat operasi
komposisi pada fungsi-fungsi dapat disimpulkan sebagai berikut :

1.  Operasi
komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya ……

           (f o g)
(x) ……… (g o f) (x)

2.  Operasi komposisi pada fungsi bersifat ……

((f o g) o h) (x) ……… (f o (g o h)) (x)

3. Dalam operasi komposisi pada
fungsi-fungsi ada sebuah unsur identitas yaitu fungsi identitas I (x) = x
sehingga

(f o I) (x) ……… (I o f) (x) ……… f (x)

 

B.
Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui

Misal fungsi f dan fungsi
komposisi (f o g) atau (g o f) sudah diketahui maka fungsi g dapat ditentukan,
demikian juga fungsi g dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) diketahui maka
fungsi f dapat ditentukan.

Contoh 1

Misal fungsi komposisi (f o g)
(x) = -2x + 3 dan f (x) = 2x + 1.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

 
(f o g) (x)   = -2x + 3

      f (g (x))   =
-2x + 3

2 (g (x)) + 1  = -2x + 3

        2 g (x)   =
-2x + 2

           g (x)   =

           g (x)   = -x + 1

Jadi fungsi g (x) = -x + 1

 

Contoh 2

Diketahui fungsi komposisi (f o
g) (x) = 4 – 2x dan fungsi g (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi f (x).

Jawab :

(f o g) (x)   = 4 - 2x

 
f (g (x))   = 4 – 2x

f (2x + 2)   = 4 – 2x

f (2x + 2)   = 4 – ((2x + 2) –2)

                   =
4 – (2x + 2) + 2

f (2x + 2)   = 6 – (2x + 2)

        f (x)    =
6 – x 

 

 

Latihan
6

1.    Misal fungsi f, g dan h
dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut :

f : {(-6,4), (3,3), (2,5), (8,1)}

g : {(-4,-6), (2,3), (3,2),
(7,8)}

h : {(0,-4), (1,2), (2,3), (3,7)}

Tentukan fungsi-fungsi komposisi
berikut dalam bentuk pasangan terurut :

a.    (g o h)                       c.  (f o
(g o h))

b.    (f o g)                        d.  ((f
o g) o h)

2.    Diketahui fungsi f, g dan h
adalah pemetaan dari R ke R ditentukan dengan rumus f (x) = , g (x) =  dan h (x) = 3x – 1.

Tentukan :   a.  (f o (g o h)) (x)

                      b.  ((f o g) o h) (x)

3.    Tentukan rumus untuk fungsi g
(x), jika diketahui :

a.    f (x) = 4x + 1  dan (f o g) (x) = x² – x – 1

b.    f (x) = x² – x +
4  dan (f o g) (x) = 3 – 2x 

4.    Tentukan rumus untuk fungsi f
(x), jika diketahui

a.    g (x) = 2x + 1  dan  (f
o g) (x) = x² + x

b.    g (x) = x + 3  dan  (f
o g) (x) = 2x – 4 

5.    Diketahui g (x) = 2 – x dan h (x)
= x + 4 dan (f o (g o h)) (x) = x² + 10x – 2, tentukan rumus untuk
fungsi f (x).

LEMBAR
KERJA SISWA 7

Mata Pelajaran                 :   Matematika

Uraian Materi Pelajaran :   Fungsi
Invers

Kompetensi Dasar          : 
Menggunakan sifat dan aturan fungsi invers dalam

                                          
Pemecahan masalah

Kelas / Semester             :   XI IPS /  I

Waktu                                :   3 x 45 menit

MATERI
:

A.
Pengertian Invers Fungsi

Jika fungsi f :
A à B dinyatakan dalam pasangan terurut

f : {(a,b) | a Î A dan b Î B} maka invers dari fungsi f
adalah f^-1 : B à A ditentukan oleh :

f^-1 : {(b,a) | b Î B dan a Î A}

Invers suatu fungsi tidak selalu
merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi maka invers fungsi
itu disebut fungsi invers.

Contoh :

1.  Misal A : {-2, -1, 0, 1} , B :
{1, 3, 4}.

Fungsi f : A à B ditentukan oleh f : {(-2,1), (-1,1), (0,3), (1,4)}.

Carilah invers fungsi f, dan
selidiki apakah invers fungsi f merupakan fungsi.

Jawab :

Invers fungsi f adalah f^-1
= B à A ditentukan oleh : 

f^-1 : {(1,-2), (1,-1),
(3,0), (4,1)}.

Fungsi f dan f^-1
disajikan dalam gambar diagram panah

                    f                                                f^-1

 

 

 

 

A                      B                         B                   A

Terlihat bahwa f^-1
adalah relasi biasa (bukan fungsi).

2.    Misal A : {1,2,3} B : {2,4,6,8}.
Fungsi g : A à B ditentukan oleh

g : {(1,2), (2,4), (3,6)}.

Tentukan invers fs g, dan
selidiki apakah invers fungsi g merupakan fungsi ?

Jawab : kerjakan sebagai latihan.

                    g                                               g^-1

 

 

 

 

A                      B                         B                   A

Terlihat bahwa g^-1 adalah ………

3.    Misal A : {a,b,c,d} dan B :
{1,2,3,4}, fungsi h : A à B ditentukan oleh

h : {(a,2), (b,1), (c,3), (d,4)}.

Carilah invers fungsi h dan
seilidiki apakah invers fungsi h merupakan fungsi ?

Jawab : kerjakan sebagai latihan

                    h                                              h^-1

 

 

 

 

A                      B                         B                   A

Fungsi h^-1 adalah ……

 

Suatu fungsi f : A à B mempunyai fungsi invers f^-1 = B à A jika dan hanya jika f merupakan fungsi ……

B. Menentukan
rumus fungsi invers

Beberapa langkah untuk menentukan
rumus fungsi invers f^-1(x) jika f (x) diketahui adalah sebagai
berikut :

1.    Ubah persamaan y = f (x) dalam
bentuk f sebagai fungsi y.

2.    Bentuk x sebagai fungsi y pada
langkah 1 dinamai dengan f^-1(y).

3.    Ganti y pada f^-1(y)
dengan x untuk memperoleh f^-1(x). Maka f^-1(x) adalah
rumus fungsi invers fungsi f (x).

Contoh :

1.    Fungsi berikut adalah pemetaan
dari R ke R. tentukan rumus inversnya

a.    f (x) = 2x + 2

b.    f (x) = 3x – 6

Jawab :

a.    f (x) = 2x + 2

y = f (x) = 2x + 2  à x =

x = f^-1(y) =

f^-1(x) =  

b.    f (x) = 3x – 6

y = f (x) = 3x – 6  à x =

x = f^-1(y) =

f^-1(x) =    

2.    Fungsi f ditentukan dengan rumus
f (x) =

a.    Tentukan rumus untuk f^-1(x)

y = f (x) =   è     y (1 + x ) = x

                                        y + yx   =
x

                                         yx – x  =
-y

                                     (y
– 1) x  = - y

x =                      

x =  f^-1(y) =

f^-1(x) =  

b.    D_f : {x | x ¹ -1 , x Î R}

c.    D_f^-1 : {x |
x ¹ 1, x Î R}

 

Latihan
7

1.    Tentukan rumus fungsi invers f^-1(x),
fungsi berikut :

a.    f (x) = 3x – 1

b.    f (x) = - ½ x + 5

c.    f (x) = ¹/₅
(x – 3)

d.    f (x) = 3 (x – 2) 

2.    Tentukan rumus fungsi invers f^-1(x)
dan daerah asal alami fungsi f (x) dan fungsi f^-1(x) pada fungsi
berikut.

a.    f (x) =

b.    f (x) =

c.    f (x) =  

3.    Tentukan rumus fungsi invers f^-1(x)
dan daerah asal fungsi f (x) agar fungsi f (x) mempunyai invers dan tentukan
rumus fungsi inversnya, pada fungsi berikut :

a.    f (x) = (x – 1)²

b.    f (x) = x² – 4x + 2

c.    f (x) = x² – 3x + 1

SOAL-SOAL LATIHAN

Pilih jawaban yang paling benar !

1. Jika f(x) =  x –
3  , maka
f(x²) – 2 f(x) + {f(x)} ² = ……

a. x² – 6x + 9

b. x² – 8x

c. 2x² – 8x + 12

d. 2x² – 4x + 12

e. 2x² – 4x + 9

2. Jika f(x) = x² – 2x – 17 , maka f(5) –  3f(2) = ….

a. -36

b. -10

c.  25

d.  49

e.  52

3. Jika f(x + 2) = x² + 2x , maka   f(x) = …..

a. 2x + x²

b. 2x - x²

c. –x² + 2x

d. –x²– 2x

e. x² – 2x

4. Diketahui  f(x)
= log x , g(x) = 3x – 2 dan h(x) = sin x , maka f o g o h (x) = ..

a. log sin 3x -2

b. log sin (3x -2)

c.

d.

e.

5. Jika f :R     
R , g, R       R  ,f(x) =   dan g(x) = x²
maka f o g (3 ½) = …

a. 2

b. 1

c. 0

d. -1

e. -2

6. Jika g(x) = 3x + 1 dan g(f(x)) = 5x²
+ x – 3 ,maka f(x) = …..

a. 1/3 (x² – x -
4)

b. 1/3 (x² – x +
4)

c. 1/3 ( x² – x
– 2)

d. 1/3 (5x² + x
+ 4)

e. 1/3 (5x²+ x –
4)

7. Jika f(x) = (2x + 1) ²
dan g(x) = 8x² + 8x + 5 , maka g(x) = ….

a. x +3

b. x – 3

c. 2x + 3

d. 2x – 3

e. 2x + ½

8. Fungsi berikut yang tidak memiliki
fungsi invers adalah ….

a. y = x +1

b. y = x³

c. y = log x

d. y = x² + 1000

e. y = 1 – 100 x

9. Jika
diketahiu  f(x) = sin x  dan g(x) = x² – 4x – 6 dan  g o f (x) = 1 , maka nilai sin 2x adalah  ……

a. -2

b. – ½

c. 0

d. 1

e. 2

10. Invers dari  adalah  …..

a. y = x²

b. y = 2x

c. y = log x

d. y = 2^x

e. y = 2 ^{x + 1}